اجمع أو اطرح أو اضرب أو اقسم عددين مركّبين وأوجد معيار وسعة النتيجة.
📂 الجبر المتقدم والمتجهاتالعدد 1: a + bi
العدد 2: c + di
عبّئ الحقول الموجودة على يمين الصفحة بالقيم المطلوبة، ثم اضغط الزر لرؤية النتيجة فورًا. لا حاجة للتسجيل، ولا تُرسَل أي بيانات لأي خادم — كل الحساب يتم داخل متصفحك مباشرة.
تنفّذ حاسبة الأعداد المركّبة العمليات الحسابية الأربع الأساسية على عددين مركّبين بصيغة a + bi، حيث a هو الجزء الحقيقي وb هو الجزء التخيلي مضروبًا في الوحدة التخيلية i. يتم الجمع والطرح بجمع أو طرح الأجزاء الحقيقية معًا والأجزاء التخيلية معًا بشكل منفصل. يستخدم الضرب قانون التوزيع مع تعويض i² بـ−1. تتم القسمة بضرب البسط والمقام في "المرافق المركّب" للمقام لإزالة الجزء التخيلي من المقام. بالإضافة للنتيجة الأساسية، تحسب الحاسبة "المعيار" (|z|)، المسافة من نقطة الأصل للعدد على المستوى المركّب، و"السعة"، زاوية العدد بالدرجات — القيمتان الأساسيتان لتمثيل عدد مركّب بالصيغة القطبية، المستخدَمة كثيرًا في الهندسة الكهربائية ومعالجة الإشارات. وتُستخدَم الأعداد المركّبة على نطاق واسع في الهندسة الكهربائية لتمثيل الدوائر المتردّدة، وفي معالجة الإشارات، وفي أي مجال يحتاج التعامل مع كميات لها مقدار واتجاه معًا بشكل رياضي مباشر. ويتكوّن العدد المركّب من جزء حقيقي وجزء تخيّلي مضروب في الوحدة التخيلية i (الجذر التربيعي لسالب واحد)، وتتبع عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة عليها قواعد جبرية محددة تختلف قليلًا عن قواعد الأعداد الحقيقية العادية بسبب وجود هذا الجزء التخيلي.
نشأت الأعداد المركّبة من محاولة الرياضيين حل معادلات لا يمكن لأي عدد حقيقي أن يحققها، مثل معادلة تتطلب جذرًا تربيعيًا لعدد سالب. عُرّفت الوحدة التخيلية 'i' على أنها الجذر التربيعي للعدد -1، وبهذا أصبح بالإمكان كتابة أي عدد مركّب في الصيغة a + bi، حيث a هو الجزء الحقيقي وb هو الجزء التخيلي.
جمع الأعداد المركّبة وطرحها يتم بجمع أو طرح الأجزاء الحقيقية معًا والأجزاء التخيلية معًا بشكل منفصل، بينما ضربها يتطلب توزيع الحدود كما في الجبر العادي، مع تذكّر أن i² تساوي -1. أما القسمة، فتتم عادة بضرب الطرفين في المرافق المركب للمقام (الذي يقلب علامة الجزء التخيلي)، وهي خطوة تُزيل الجزء التخيلي من المقام وتجعل القسمة ممكنة.
يمكن أيضًا تمثيل الأعداد المركّبة هندسيًا كنقاط في مستوى ثنائي الأبعاد يُسمى 'مستوى الأعداد المركّبة'، حيث يمثل المحور الأفقي الجزء الحقيقي والمحور الرأسي الجزء التخيلي. هذا التمثيل يسمح بحساب 'المقياس' (المسافة من نقطة الأصل) و'السعة' أو الزاوية، وهما مفهومان أساسيان في الصيغة القطبية للأعداد المركّبة المستخدمة كثيرًا في الهندسة الكهربائية.
على الرغم من اسمها 'التخيلية'، فإن الأعداد المركّبة أساسية في تطبيقات هندسية وفيزيائية حقيقية تمامًا: تُستخدم في تحليل الدوائر الكهربائية المتردد (لتمثيل المعاوقة والطور)، وفي معالجة الإشارات ومعالجة الصور عبر تحويل فورييه، وفي ميكانيكا الكم التي تعتمد بشكل جوهري على معادلات ذات قيم مركّبة لوصف حالة الجسيمات دون الذرية.
من النقاط المفيدة عمليًا أن 'مقياس' العدد المركّب (طوله من نقطة الأصل) يُحسب بنفس منطق نظرية فيثاغورس تمامًا — الجذر التربيعي لمجموع مربعي الجزء الحقيقي والجزء التخيلي. هذا الرابط بين الأعداد المركّبة والهندسة المستوية يجعل التعامل معها أسهل بصريًا، ويفسر أيضًا لماذا يُفضَّل أحيانًا التحويل إلى الصيغة القطبية (المقياس والزاوية) عند إجراء عمليات الضرب أو القسمة أو الرفع للأس، لأنها تصبح أبسط بكثير في تلك الصيغة. ويمكن تمثيل الأعداد المركّبة بيانيًا على مستوى ثنائي الأبعاد يسمى المستوى المركّب، حيث يمثّل المحور الأفقي الجزء الحقيقي والمحور الرأسي الجزء التخيلي، وهذا التمثيل البصري يسهّل فهم عمليات الجمع والضرب هندسيًا.
تُعرَّف i كالجذر التربيعي لـ−1، بحيث i² = −1، مما يتيح لنا التعامل مع الجذور التربيعية للأعداد السالبة.
المعيار هو مسافة العدد المركّب من نقطة الأصل على المستوى المركّب، والسعة هي الزاوية التي يشكّلها مع المحور الحقيقي الموجب.
تتم بضرب البسط والمقام في المرافق المركّب للمقام، الذي يحوّل المقام لعدد حقيقي.