اجمع أو اطرح المتجهات، أو احسب حاصل الضرب النقطي والاتجاهي والمقدار والزاوية بينهما.
📂 الجبر المتقدم والمتجهاتالمتجه A
المتجه B
عبّئ الحقول الموجودة على يمين الصفحة بالقيم المطلوبة، ثم اضغط الزر لرؤية النتيجة فورًا. لا حاجة للتسجيل، ولا تُرسَل أي بيانات لأي خادم — كل الحساب يتم داخل متصفحك مباشرة.
تنفّذ حاسبة المتجهات أهم العمليات الجبرية على المتجهات في مستوى ثنائي الأبعاد أو فضاء ثلاثي الأبعاد. يتم الجمع والطرح بجمع أو طرح المكوّنات المتناظرة (x مع x، وy مع y، وz مع z) لكل متجه. يُحسَب الضرب النقطي بضرب المكوّنات المتناظرة وجمع النتائج، مما يعطي رقمًا واحدًا (كمية قياسية) يُستخدَم أساسًا لحساب الزاوية بين متجهين. الضرب الاتجاهي، المتاح فقط في الأبعاد الثلاثة، يعطي متجهًا جديدًا عموديًا على المتجهين الأصليين، ويُستخدَم كثيرًا في الفيزياء لحساب العزم أو المجال المغناطيسي. يقيس المقدار "طول" المتجه كالجذر التربيعي لمجموع مربعات مكوّناته. تُحسَب الزاوية بين متجهين من العلاقة بين الضرب النقطي والمقدارين، باستخدام دالة جيب التمام العكسية. وتُستخدَم المتجهات على نطاق واسع في الفيزياء لوصف القوى والسرعات التي تملك مقدارًا واتجاهًا معًا، وفي الرسوميات الحاسوبية لتمثيل الحركة والاتجاه في الفضاء ثلاثي الأبعاد. ويُمثَّل المتجه بمجموعة من المركّبات على كل محور، ويختلف جمع المتجهات عن ضربها، فالجمع يكون مركّبًا بمركّب، بينما يوجد نوعان من الضرب: الضرب النقطي الذي ينتج عددًا واحدًا، والضرب الاتجاهي الذي ينتج متجهًا جديدًا عموديًا على المتجهين الأصليين.
يختلف المتجه عن العدد العادي (الكمية القياسية) في أنه يحمل معلومتين معًا: مقدارًا (طولًا) واتجاهًا محددًا، بينما العدد القياسي يحمل قيمة فقط دون اتجاه. تُمثَّل المتجهات بصريًا كأسهم في الفضاء، حيث يمثل طول السهم مقدار المتجه واتجاه رأس السهم اتجاهه، ويمكن تمثيلها رياضيًا كمجموعة من المكوّنات على المحاور الإحداثية.
يتم جمع المتجهات وطرحها بجمع أو طرح مكوّناتها المتناظرة على كل محور بشكل منفصل، وهي عملية بسيطة نسبيًا. لكن ضرب المتجهات أكثر تعقيدًا وله نوعان مختلفان جوهريًا: الضرب النقطي (Dot Product)، الذي ينتج عددًا قياسيًا ويعكس مدى 'تراصف' المتجهين معًا، والضرب الاتجاهي (Cross Product)، الذي ينتج متجهًا جديدًا عموديًا على المتجهين الأصليين، ويُستخدم فقط في الفضاء ثلاثي الأبعاد.
يُحسب مقدار (طول) أي متجه باستخدام صيغة مشتقة مباشرة من نظرية فيثاغورس — الجذر التربيعي لمجموع مربعات مكوّناته على كل المحاور — وهذا يربط مفهوم المتجهات بشكل وثيق بمفهوم المسافة الإقليدية بين نقطتين. أما 'المتجه الواحد' (Unit Vector)، فهو أي متجه بمقدار يساوي واحدًا تمامًا، ويُستخدم غالبًا لتمثيل اتجاه معيّن فقط دون الاهتمام بمقداره.
تُستخدم المتجهات على نطاق واسع في الفيزياء لتمثيل القوى والسرعة والتسارع (التي تمتلك اتجاهًا بطبيعتها)، وفي الرسوميات الحاسوبية وتطوير الألعاب لتمثيل حركة واتجاه الكاميرا والأجسام الافتراضية، وفي التعلم الآلي حيث تُمثَّل كل نقطة بيانات كمتجه ذو أبعاد متعددة، ويُستخدم الضرب النقطي كأداة أساسية لقياس مدى التشابه بين نقطتي بيانات مختلفتين.
من النقاط العملية المفيدة أيضًا أن الضرب النقطي بين متجهين يساوي صفرًا تمامًا إذا وفقط إذا كان المتجهان متعامدين تمامًا (بزاوية 90 درجة) بينهما، وهذه خاصية تُستخدم كثيرًا كاختبار سريع للتعامد في الرسوميات الحاسوبية والفيزياء، دون الحاجة لحساب الزاوية الفعلية بينهما بشكل كامل ومباشر عبر الدوال المثلثية في كل مرة. ويُستخدَم حاصل الضرب النقطي لحساب الزاوية بين متجهين، حيث تشير قيمة صفرية لضرب نقطي إلى تعامد المتجهين تمامًا، بينما يُستخدَم الضرب الاتجاهي في الفضاء ثلاثي الأبعاد لإيجاد متجه عمودي على مستوى المتجهين الأصليين.
الضرب النقطي يُعيد رقمًا واحدًا يصف مدى توافق اتجاه متجهين، بينما الضرب الاتجاهي (معرَّف فقط في الأبعاد الثلاثة) يُعيد متجهًا جديدًا عموديًا على كليهما.
التعريف الهندسي للضرب الاتجاهي — إنتاج متجه عمودي — له معنى قياسي فقط في الفضاء الثلاثي الأبعاد، وليس في مستوى ثنائي الأبعاد مسطّح.
تُظهر مدى تشابه اتجاه المتجهين: 0° تعني أنهما يشيران لنفس الاتجاه، و90° تعني أنهما عموديان، و180° تعني أنهما يشيران لاتجاهين متعاكسين.