حل متراجحة خطية بصيغة ax + b (مقارنة) c واحصل على مجموعة حل x.
📂 الجبر والمعادلاتحل من أجل x: ax + b (؟) c
عبّئ الحقول الموجودة على يمين الصفحة بالقيم المطلوبة، ثم اضغط الزر لرؤية النتيجة فورًا. لا حاجة للتسجيل، ولا تُرسَل أي بيانات لأي خادم — كل الحساب يتم داخل متصفحك مباشرة.
تحل حاسبة المتراجحات متراجحة خطية بصيغة ax + b مقارنة بـc، وهناك نقطة مهمة يجب مراعاتها تختلف عن حل المعادلات العادية: عند قسمة أو ضرب طرفي المتراجحة برقم سالب، يجب عكس اتجاه علامة المتراجحة. فمثلًا، إذا وصلنا لخطوة −2x < 6، فقسمة الطرفين على −2 تعني أن النتيجة تصبح x > −3. تتعامل الحاسبة مع هذه الحالة تلقائيًا بناءً على إشارة المعامل a، وتنبّه المستخدم صريحًا عند حدوث الانعكاس. تتعامل أيضًا مع الحالة الخاصة حيث a=0، والتي تعتمد فيها صحة المتراجحة فقط على مقارنة القيمتين الثابتتين b وc، بصرف النظر عن x. وتُستخدَم المتباينات على نطاق واسع في مسائل التحسين والبرمجة الخطية، حيث تحدد نطاقًا مقبولًا من القيم بدل قيمة واحدة محددة، كما في تخطيط الميزانيات أو قيود الموارد المحدودة. وبخلاف المعادلة التي تعطي قيمة واحدة محددة كحل، تعطي المتباينة نطاقًا كاملًا من القيم المقبولة كحل، ويجب دائمًا عكس اتجاه علامة المتباينة عند ضرب أو قسمة كليها على عدد سالب، وهو خطأ شائع يجب الحذر منه دائمًا. ويُعرَض الحل غالبًا على خط الأعداد بصريًا، مع دائرة مفتوحة للحدود غير المتضمَّنة ودائرة مغلقة للحدود المتضمَّنة في نطاق الحل.
تختلف المتباينات عن المعادلات العادية في أن حلها ليس قيمة واحدة محددة، بل مجموعة كاملة من القيم التي تحقق الشرط المطلوب — مثل 'أكبر من' أو 'أصغر من أو يساوي'. فحل متباينة بسيطة مثل x + 3 > 7 هو كل القيم الأكبر من 4، أي نطاق لا نهائي من الأعداد، لا عدد واحد فقط كما هو الحال في المعادلات.
تُحل المتباينات بخطوات مشابهة جدًا لحل المعادلات — نقل الحدود وتبسيطها — مع قاعدة استثنائية واحدة يجب تذكّرها دائمًا: عند ضرب أو قسمة طرفي المتباينة على عدد سالب، ينعكس اتجاه علامة المتباينة. فتجاهل هذه القاعدة الواحدة هو مصدر معظم الأخطاء الشائعة عند حل المتباينات، خصوصًا في الأنظمة التي تتضمن متغيرات ومعاملات سالبة.
عند التعامل مع أنظمة من متباينتين أو أكثر في نفس الوقت، يصبح الحل هو التقاطع بين كل النطاقات الفردية — أي المنطقة المشتركة التي تحقق كل الشروط معًا. يمكن تمثيل هذا بصريًا على خط الأعداد للمتباينة الواحدة، أو كمنطقة مظلّلة على مستوى إحداثي للمتباينات ذات متغيرين، وهذا التمثيل البياني يسهّل كثيرًا فهم الحل خصوصًا في الأنظمة المعقّدة.
تُستخدم المتباينات في نمذجة القيود العملية في الحياة الواقعية: كتحديد الحد الأقصى للوزن الذي يمكن أن تحمله رافعة، أو الميزانية القصوى المسموح إنفاقها ضمن مشروع، أو النطاق الآمن لدرجة حرارة عملية صناعية معيّنة. وهذا ما يجعل المتباينات أداة أساسية في مسائل البرمجة الخطية المستخدمة لتحديد أفضل توزيع ممكن للموارد المحدودة تحت قيود متعددة.
من النقاط العملية المفيدة أيضًا أن المتباينات 'المزدوجة' (التي تحصر متغيرًا بين حدّين في آن واحد، مثل 3 < x < 10) تُحل بمعالجة كل الأطراف الثلاثة معًا بنفس العملية في الوقت نفسه، وليس كمتباينتين منفصلتين. هذا النوع من المتباينات يظهر كثيرًا عند وصف نطاق مقبول أو آمن لقيمة معينة، كنطاق درجة الحرارة الطبيعية للجسم أو النطاق المسموح به لضغط عملية صناعية معينة. وتوجد متباينات مركّبة تجمع شرطين معًا (كأن تكون القيمة أكبر من رقم وأصغر من آخر في الوقت نفسه)، وتُحَل هذه الحالات بمعاملة كل شرط على حدة ثم دمج نطاقي الحل الناتجين معًا.
كلما قسمت أو ضربت طرفي متراجحة برقم سالب، يجب عكس اتجاه المتراجحة للحفاظ على صحة العبارة رياضيًا.
بلا حدّ x متبقٍ، تعتمد صحة المتراجحة فقط على مقارنة الثابتين b وc — النتيجة تكون صحيحة لكل x أو لا حل لها أبدًا.
نعم، إذا اختَرت ≤ أو ≥ تُشمَل القيمة الحدّية في الحل؛ وبـ< أو > الصارمتين تُستثنى.