حل أي معادلة تربيعية ax² + bx + c = 0 واحصل على الجذور الحقيقية أو المركّبة فورًا.
📂 الجبر والمعادلاتحل: ax² + bx + c = 0
عبّئ الحقول الموجودة على يمين الصفحة بالقيم المطلوبة، ثم اضغط الزر لرؤية النتيجة فورًا. لا حاجة للتسجيل، ولا تُرسَل أي بيانات لأي خادم — كل الحساب يتم داخل متصفحك مباشرة.
يحل حلّال المعادلة التربيعية أي معادلة بالصيغة القياسية ax² + bx + c = 0 باستخدام "الصيغة العامة للمعادلة التربيعية"، وهي x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a. أهم عنصر في هذه الصيغة هو "المميّز"، الجزء تحت الجذر (b²−4ac): إذا كان موجبًا، تحتوي المعادلة على جذرين حقيقيين مختلفين؛ وإذا كان يساوي صفرًا، تحتوي المعادلة على جذر حقيقي واحد مكرّر؛ وإذا كان سالبًا، لا توجد جذور حقيقية، بل جذران مركّبان، لأن الجذر التربيعي لرقم سالب غير معرَّف بين الأعداد الحقيقية. تُستخدَم المعادلات التربيعية كثيرًا في الفيزياء (الحركة القذفية) والاقتصاد والهندسة. وتُستخدَم المعادلات التربيعية على نطاق واسع في الفيزياء لوصف حركة المقذوفات تحت تأثير الجاذبية، وفي الهندسة والاقتصاد لنماذج تتضمن علاقة تربيعية بين متغيرين. وتُكتَب المعادلة التربيعية بالصورة القياسية ax² + bx + c = 0، وتُحَل باستخدام القانون العام الذي يتضمن الجذر التربيعي لما يُسمى المُميّز (b² - 4ac)، الذي يحدد أيضًا عدد الحلول الحقيقية الممكنة للمعادلة ونوعها.
المعادلة التربيعية هي معادلة من الدرجة الثانية، تأخذ الصيغة العامة ax² + bx + c = 0، وتُمثَّل هندسيًا بمنحنى يُسمى القطع المكافئ عند رسمها بيانيًا. على عكس المعادلات الخطية التي لها حل واحد فقط، يمكن أن تمتلك المعادلة التربيعية حلّين مختلفين، أو حلًا واحدًا مكرّرًا، أو لا حلول حقيقية على الإطلاق (بل حلول مركّبة فقط)، تبعًا لقيمة تُسمى 'المُميِّز'.
القانون العام لحل المعادلة التربيعية — وهو من أوائل الصيغ الجبرية التي يتعلمها الطلاب لحل معادلة كاملة مباشرة من معاملاتها — طوّره تدريجيًا رياضيون من حضارات متعددة عبر التاريخ، وأبرزهم علماء الرياضيات المسلمون كالخوارزمي، الذين قدّموا طرقًا منهجية لحل المعادلات التربيعية هندسيًا وجبريًا في القرن التاسع الميلادي، قبل أن تتبلور الصيغة الرمزية الحديثة لاحقًا في أوروبا.
يعتمد القانون العام على حساب 'المُميِّز' (b² - 4ac) أولًا: إذا كانت قيمته موجبة، توجد حلّان حقيقيان مختلفان؛ وإذا كانت تساوي صفرًا، يوجد حل حقيقي واحد فقط (مكرّر مرتين)؛ وإذا كانت سالبة، لا توجد حلول حقيقية بل حلّان مركّبان فقط، لأن الصيغة تتطلب حساب جذر تربيعي لعدد سالب في هذه الحالة.
تظهر المعادلات التربيعية في نماذج فيزيائية عملية عديدة، أشهرها حركة المقذوفات تحت تأثير الجاذبية (حيث يتبع ارتفاع الجسم بمرور الزمن منحنى تربيعيًا)، وفي الاقتصاد لتحديد نقطة الربح الأقصى عندما تكون دالة الربح تربيعية الشكل، وفي الهندسة المعمارية لتصميم الأقواس والجسور المعتمدة على شكل القطع المكافئ لتوزيع القوى بشكل مثالي على طول المنشأ.
من النقاط العملية المفيدة أيضًا أن المُميِّز لا يحدد فقط عدد الحلول ونوعها، بل يمكن أيضًا معرفة إشارة الحلّين ومجموعهما وحاصل ضربهما مباشرة من معاملات المعادلة نفسها، دون حل المعادلة كاملة أولًا — عبر علاقات فييت الشهيرة. هذه العلاقات المختصرة توفر طريقة سريعة للتحقق من صحة الحلول المحسوبة، أو لاستنتاج خصائص عامة عن الحلول دون الحاجة لحساب قيمتها الدقيقة بالكامل. ويحدد المُميّز (b² - 4ac) طبيعة حلول المعادلة: إن كان موجبًا يوجد حلّان حقيقيان مختلفان، إن كان صفرًا يوجد حل حقيقي واحد مكرر، وإن كان سالبًا لا يوجد حل حقيقي بل حلّان مركّبان فقط.
المميّز (b² − 4ac) يحدّد طبيعة الجذور: الموجب يعني جذرين حقيقيين، والصفر يعني جذرًا حقيقيًا واحدًا مكرّرًا، والسالب يعني جذرين مركّبين.
ترفض الحاسبة هذا الإدخال، لأن المعادلة التربيعية تتطلب معاملًا غير صفري لحدّ x² — وإلا تصبح المعادلة خطية.
الجذور المركّبة تعني أن الرسم البياني للمعادلة (قطع مكافئ) لا يتقاطع أبدًا مع محور x، فلا يوجد حل بالأعداد الحقيقية — يحدث هذا كثيرًا في مسائل الفيزياء والهندسة مع بعض تركيبات المعاملات.