حل معادلة برنولي لضغط السائل عند نقطة ثانية في نظام تدفق، بمعلومية الضغط والسرعة والارتفاع عند نقطتين.
📂 الفيزياءعبّئ الحقول الموجودة على يمين الصفحة بالقيم المطلوبة، ثم اضغط الزر لرؤية النتيجة فورًا. لا حاجة للتسجيل، ولا تُرسَل أي بيانات لأي خادم — كل الحساب يتم داخل متصفحك مباشرة.
تصف معادلة برنولي كيف تتبادل الضغط والسرعة والارتفاع تأثيراتها على طول خط انسياب في تدفق سائل ثابت وبلا احتكاك وغير قابل للانضغاط، معبِّرة عن مبدأ أن مجموع طاقة الضغط والطاقة الحركية وطاقة الوضع الجذبية لكل وحدة حجم يبقى ثابتًا بين أي نقطتين في نفس التدفق. تحل هذه الحاسبة المعادلة لضغط نقطة ثانية، بمعلومية الضغط والسرعة والارتفاع عند نقطة أولى مع سرعة وارتفاع النقطة الثانية، باستخدام تسارع الجذبية القياسي (9.81 م/ث²). تحمل المعادلة نتيجة غير بديهية فعليًا: حيث يتسارع السائل، يجب أن ينخفض ضغطه للحفاظ على الطاقة الإجمالية، وهو المبدأ الأساسي نفسه وراء ظواهر متنوعة كرفع جناح الطائرة، وستارة الحمّام المُجتذَبة للداخل بفعل الماء سريع الحركة، وقراءة مقياس ضغط الأنبوب المتغيّرة مع تضييق قطره. وتصف معادلة برنولي مبدأ حفظ الطاقة للسوائل المتحركة، حيث يبقى مجموع الضغط الساكن، وطاقة الحركة، وطاقة الوضع ثابتًا طوال مسار التيار، بشرط عدم وجود احتكاك أو فقد طاقة بسبب اللزوجة. ويُستخدَم هذا المبدأ عمليًا لتفسير كيف ترتفع الطائرات بفعل اختلاف سرعة الهواء وضغطه فوق وتحت الجناح، وفي تصميم أنابيب الضخ الهيدروليكية.
واحدة من أكثر النتائج غير البديهية بسرور في الفيزياء الكلاسيكية هي أن تسريع سائل يُخفِّض ضغطه فعليًا، لا يرفعه — عكس ما قد يقترحه الحدس المبني على تجربة يومية مع أجسام صلبة. معادلة برنولي هي البيان الرياضي لسبب حدوث هذا تحديدًا، وبمجرد فهمها، تشرح مجموعة هائلة من الظواهر اليومية والهندسية.
في جوهرها، معادلة برنولي ليست أغرب من حفظ الطاقة مُطبَّقًا على سائل متحرك. كل وحدة حجم من السائل تحمل ثلاثة أشكال من الطاقة بينما تتدفق: طاقة الضغط (من ضغط السائل الداخلي الذي يدفع محيطه)، الطاقة الحركية (من سرعته)، وطاقة الوضع الجذبية (من ارتفاعه). كانت رؤية برنولي هي التعرّف على أن، لتدفق مثالي ثابت وبلا احتكاك وغير قابل للانضغاط، يبقى مجموع أشكال الطاقة الثلاثة هذه ثابتًا على طول أي خط انسياب واحد، حتى مع تحوّل الأجزاء الفردية جيئة وذهابًا.
هذا الثبوت هو تحديدًا ما يفرض المقايضة غير البديهية بين الضغط والسرعة: إذا دخل السائل قسمًا أضيق من الأنبوب، يفرض حفظ الكتلة (نفس كمية السائل يجب أن تعبر مقطعًا عرضيًا أصغر) زيادة سرعته. وبما أن الطاقة الإجمالية يجب أن تبقى نفسها والارتفاع عادةً لا يتغيّر ضمن قسم أنبوب قصير، تلك الزيادة في الطاقة الحركية يجب أن تأتي من مكان ما — وتأتي مباشرة من طاقة ضغط السائل، مما يسبب انخفاض الضغط تحديدًا حيث يتحرك السائل بأسرع سرعة.
هذه الآلية تحديدًا تشرح نطاقًا مفاجئًا من الظواهر بمجرد أن تعرف أين تبحث. جناح الطائرة مُشكَّل ليتدفق الهواء أسرع فوق سطحه العلوي المنحني منه على طول سطحه السفلي الأكثر استواءً، مُنتِجًا فارق ضغط بين السطحين يُولِّد الرفع. تُجتَذَب ستارة الحمّام للداخل نحو الماء سريع الحركة لأن ضغط الماء المتحرك الأقل يُنشِئ فارق ضغط مقابل الهواء الساكن على الجانب الآخر. حتى مقياس Venturi البسيط، جهاز قياس تدفق شائع، يعمل بتضييق أنبوب عمدًا وقياس انخفاض الضغط الناتج لحساب معدل التدفق.
الفرضيات المثالية وراء المعادلة — تدفق ثابت، احتكاك صفري، وسائل غير قابل للانضغاط — ليست صحيحة تمامًا أبدًا في أنظمة الهندسة الحقيقية، لكنها غالبًا قريبة بما يكفي لإعطاء إجابات عملية مفيدة، خصوصًا للسوائل المتحركة بسرعات معتدلة عبر مسافات قصيرة. للحالات ذات الاحتكاك الملموس (خطوط أنابيب طويلة) أو التدفق القابل للانضغاط (غازات بسرعة عالية)، يستخدم المهندسون نسخًا موسَّعة من المعادلة تضيف حدود تصحيح للطاقة التي لا تأخذها النسخة المثالية لبرنولي بالحسبان.
معادلة برنولي في جوهرها بيان لحفظ الطاقة؛ إذا زادت الطاقة الحركية (المرتبطة بالسرعة) بينما تبقى الطاقة الإجمالية ثابتة، يجب أن تنخفض طاقة الضغط بشكل مقابل لموازنة المعادلة.
تفترض معادلة برنولي تدفقًا ثابتًا (لا يتغيّر مع الزمن)، وسائلًا غير قابل للانضغاط (كثافة ثابتة)، واحتكاكًا مهملًا (لا فقدان طاقة لزج) على طول خط انسياب واحد — تحتاج التدفقات الحقيقية ذات الاحتكاك الملموس حدود تصحيح إضافية.
تنطبق المعادلة نظريًا على أي سائل، لكن فرضية عدم قابلية الانضغاط تصح بشكل أفضل بكثير للسوائل مقارنة بالغازات بسرعات عالية، حيث تصبح تأثيرات قابلية الانضغاط معتبرة وتحتاج شكلًا مُعدَّلًا من المعادلة.