أوجد مشتقة دالة كثيرة الحدود باستخدام قاعدة القوة، وقيّمها عند نقطة معينة.
📂 التفاضل والتكاملعبّئ الحقول الموجودة على يمين الصفحة بالقيم المطلوبة، ثم اضغط الزر لرؤية النتيجة فورًا. لا حاجة للتسجيل، ولا تُرسَل أي بيانات لأي خادم — كل الحساب يتم داخل متصفحك مباشرة.
تحسب حاسبة المشتقة مشتقة دالة كثيرة حدود باستخدام "قاعدة القوة"، أبسط وأكثر قواعد التفاضل استخدامًا: مشتقة الحدّ axⁿ تساوي n×axⁿ⁻¹، أي يُضرَب المعامل a في الأس n، ثم يُخفَّض الأس بواحد. تُطبَّق هذه القاعدة على كل حدّ في كثيرة الحدود بشكل منفصل، ثم تُجمَع نتائج الحدود لتشكّل المشتقة الكاملة. رياضيًا، تمثّل المشتقة "معدل التغيّر اللحظي" للدالة عند أي نقطة x، أو بصريًا، ميل الخط الماس لمنحنى الدالة عند تلك النقطة. بعد حساب صيغة المشتقة، تتيح لك الحاسبة أيضًا تقييمها عدديًا عند قيمة x معينة، مفيد جدًا لمعرفة ميل المنحنى الدقيق عند نقطة معينة، كحساب السرعة اللحظية من دالة موضع في الفيزياء. وتُستخدَم المشتقات على نطاق واسع في الفيزياء لحساب السرعة والتسارع من دالة الموضع، وفي الاقتصاد لتحليل التكلفة الحدية، وفي أي مجال يحتاج فهم معدل تغيّر كمية ما لحظيًا. وتصف المشتقة رياضيًا معدل التغيّر اللحظي لدالة عند نقطة محددة، أي ميل الخط المستقيم الملامس لمنحنى الدالة في تلك النقطة بالضبط، وتُحسَب باستخدام مجموعة من القواعد الجبرية الثابتة كقاعدة القوة وقاعدة الجمع وقاعدة السلسلة للدوال المتداخلة.
المشتقة هي أحد المفاهيم المحورية في التفاضل والتكامل، وتقيس معدل تغيّر دالة معينة عند نقطة محددة — أي مدى سرعة تغيّر مخرجات الدالة عندما يتغيّر المدخل بمقدار صغير جدًا. هندسيًا، تمثل المشتقة ميل الخط المستقيم الذي يلامس منحنى الدالة عند تلك النقطة تحديدًا، وهو ما يُعرف بـ'خط الظل'.
طوّر إسحاق نيوتن وغوتفريد لايبنتز مفهوم المشتقة بشكل مستقل تقريبًا في القرن السابع عشر، كل منهما بدوافع مختلفة — نيوتن من زاوية الفيزياء والحركة، ولايبنتز من زاوية الهندسة والرموز. تُحسب المشتقات باستخدام مجموعة من القواعد الثابتة مثل قاعدة القوة (لمشتقة الحدود ذات الأس)، وقاعدة الجداء، وقاعدة السلسلة للدوال المركّبة.
في الفيزياء، تمثل مشتقة الموضع بالنسبة للزمن السرعة، ومشتقة السرعة بالنسبة للزمن التسارع — وهذا ما يجعل المشتقات أداة أساسية لوصف الحركة. في الاقتصاد، تُستخدم المشتقة لحساب 'التكلفة الحدّية' أو 'الإيراد الحدّي'، أي مقدار التغيّر في التكلفة أو الإيراد الناتج عن إنتاج وحدة إضافية واحدة، وهو مفهوم أساسي في تحديد نقطة الإنتاج المثلى.
تُستخدم المشتقات أيضًا في إيجاد القيم العظمى والصغرى لدالة معينة، ببحث النقاط التي تكون فيها المشتقة تساوي صفرًا (حيث يتوقف المنحنى عن الصعود أو النزول لحظيًا) — وهذا المبدأ يقف وراء خوارزميات التحسين الرياضي المستخدمة اليوم في التعلم الآلي، حيث تُستخدم المشتقات لتوجيه النموذج تدريجيًا نحو أقل قيمة ممكنة للخطأ.
من النقاط العملية المفيدة أيضًا أن المشتقة الثانية (مشتقة المشتقة نفسها) تحمل معلومة إضافية مهمة: فهي تصف 'تقعّر' المنحنى، أي ما إذا كان يتجه نحو الأعلى كالكوب أو نحو الأسفل كالقبة عند نقطة معينة. هذه المعلومة تُستخدم للتمييز بين القيم العظمى والقيم الصغرى المحلية للدالة، وهي خطوة أساسية في أي مسألة تحسين رياضي تهدف لإيجاد أفضل قيمة ممكنة ضمن قيود معينة. وتُستخدَم المشتقة الثانية (مشتقة المشتقة) لتحديد نقاط الانعطاف في المنحنى، وهي النقاط التي يتغيّر عندها تقعّر الدالة من محدّبة إلى مقعّرة أو العكس، وهذا مفيد جدًا في تحليل القيم العظمى والصغرى للدالة. ويُشار للمشتقة برموز مختلفة بحسب التقليد الرياضي المستخدم، أشهرها رمز لايبنتز (dy/dx) ورمز لاغرانج (f')، وكلاهما يشير لنفس المفهوم الرياضي بالضبط.
تنص على أن مشتقة ax^n هي n·ax^(n-1) — تضرب المعامل في الأس، ثم تخفّض الأس بواحد.
لا، تقتصر هذه الأداة على الدوال كثيرة الحدود (حدود x مرفوعة لقوى صحيحة)؛ مشتقات الدوال المثلثية واللوغاريتمية تحتاج قواعد مختلفة.
تمثّل معدل التغيّر اللحظي للدالة — فمثلًا إذا كانت f(x) تصف الموضع، فإن f'(x) تصف السرعة في تلك اللحظة.