أوجد الدالة الأصلية لدالة كثيرة حدود واحسب تكاملها المحدود بين حدّين.
📂 التفاضل والتكاملعبّئ الحقول الموجودة على يمين الصفحة بالقيم المطلوبة، ثم اضغط الزر لرؤية النتيجة فورًا. لا حاجة للتسجيل، ولا تُرسَل أي بيانات لأي خادم — كل الحساب يتم داخل متصفحك مباشرة.
تجد حاسبة التكامل "الدالة الأصلية" لدالة كثيرة حدود باستخدام قاعدة القوة العكسية للتكامل: تكامل الحدّ axⁿ يساوي (a/(n+1)) xⁿ⁺¹، أي يُزاد الأس بواحد ثم يُقسَم المعامل على الأس الجديد، بالإضافة لثابت التكامل C، الذي يُضاف دائمًا لأن أي رقم ثابت يتلاشى عند التفاضل. إذا تم تحديد مدى، تحسب الحاسبة أيضًا "التكامل المحدود" بتعويض الحدّين الأعلى والأدنى في الدالة الأصلية وطرح النتيجتين، وهو ما يمثّل المساحة المحصورة بين منحنى الدالة ومحور x بين النقطتين a وb. يُستخدَم التكامل كثيرًا في حساب المساحات والحجوم غير المنتظمة، وفي الفيزياء لحساب الإزاحة الكلية من دالة سرعة. ويُستخدَم التكامل على نطاق واسع في الفيزياء لحساب المساحة تحت منحنى السرعة لإيجاد المسافة الكلية المقطوعة، وفي الهندسة لحساب الحجوم والمساحات المعقدة التي لا تصلح لها الصيغ الهندسية البسيطة. ويمثّل التكامل غير المحدد العملية العكسية للاشتقاق، حيث يُوجَد دالة أصلية تعطي الدالة المُشتقة الأصلية عند اشتقاقها، بينما يحسب التكامل المحدد المساحة الفعلية المحصورة تحت منحنى الدالة بين نقطتين محددتين على المحور الأفقي.
التكامل هو المفهوم المعكوس للمشتقة في التفاضل والتكامل، ويُستخدم أساسًا لحساب المساحة المحصورة تحت منحنى دالة معينة بين نقطتين. فكرته الجوهرية هي تقسيم المنطقة تحت المنحنى إلى عدد لا نهائي من المستطيلات الرفيعة جدًا، وجمع مساحاتها كلها معًا للحصول على المساحة الكلية الدقيقة، وهذا ما يميز التكامل عن التقريب البسيط بالمستطيلات المحدودة العدد.
يُقسم التكامل إلى نوعين أساسيين: التكامل غير المحدد، الذي ينتج دالة جديدة (تسمى 'الدالة الأصلية') تمثل معكوس عملية الاشتقاق، والتكامل المحدد، الذي ينتج قيمة رقمية محددة تمثل المساحة الفعلية بين حدّين معلومين. تربط 'المبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل' بين هذين المفهومين، وتُعد من أهم الاكتشافات الرياضية في التاريخ لأنها وحّدت فرعين كانا يُدرسان بشكل منفصل تمامًا.
طوّر نيوتن ولايبنتز أساسيات التكامل في القرن السابع عشر، كل بطريقته الخاصة، لكن جهودهما تكاملت لاحقًا لتشكّل صرح التفاضل والتكامل الحديث. من الناحية العملية، تعتمد معظم عمليات التكامل على مجموعة من القواعد والصيغ الجاهزة (كقاعدة القوة العكسية، والتكامل بالتجزيء، والتعويض)، بدل حساب المساحة تحت المنحنى مباشرة في كل مرة.
يُستخدم التكامل في الفيزياء لحساب المسافة الكلية المقطوعة من دالة السرعة، أو الشغل الكلي المبذول من دالة قوة متغيرة، وفي الهندسة لحساب حجوم الأشكال غير المنتظمة أو مركز الثقل لجسم معقّد. في الاقتصاد، يُستخدم لحساب 'فائض المستهلك' الكلي من منحنى الطلب، وهذا التنوع الواسع في التطبيقات يوضح أن التكامل ليس مجرد إجراء رياضي مجرد، بل أداة عملية لتجميع تأثيرات متغيرة باستمرار على مدى فترة أو نطاق كامل.
من النقاط العملية المفيدة أيضًا أهمية إضافة 'ثابت التكامل' (يُرمز له غالبًا بـC) عند حساب التكامل غير المحدد، لأن مشتقة أي ثابت تساوي صفرًا، وهذا يعني أن هناك عددًا لا نهائيًا من الدوال الأصلية الممكنة التي تختلف فقط بثابت جمع، وكلها تُعطي نفس المشتقة عند إرجاعها. هذا الثابت يُحدَّد فعليًا فقط عند توافر شرط ابتدائي إضافي، كمعرفة قيمة الدالة عند نقطة معيّنة. ويُستخدَم ثابت التكامل (يُرمَز له بـ C) في التكامل غير المحدد للتعبير عن أن أي دالة تختلف عن الأخرى بمقدار ثابت فقط تعطي نفس المشتقة تمامًا، مما يجعل حل التكامل غير المحدد عائلة كاملة من الدوال لا دالة واحدة فقط.
لأن تفاضل أي ثابت يعطي صفرًا، فتوجد عدد لا نهائي من الدوال الأصلية تختلف فقط بثابت — C يمثّل هذا الثابت المجهول.
يمثّل المساحة الموجّهة الصافية بين منحنى الدالة ومحور x، بين الحدّين اللذين تحددهما.
نعم، اترك حقلي الحدّين فارغين وستعرض الحاسبة فقط الدالة الأصلية العامة مع '+ C'.