أوجد الحدّ النوني ومجموع أول n حدّ لمتتالية حسابية أو هندسية.
📂 التفاضل والتكاملعبّئ الحقول الموجودة على يمين الصفحة بالقيم المطلوبة، ثم اضغط الزر لرؤية النتيجة فورًا. لا حاجة للتسجيل، ولا تُرسَل أي بيانات لأي خادم — كل الحساب يتم داخل متصفحك مباشرة.
تحل حاسبة المتتاليات والمتسلسلات نوعين أساسيين من المتتاليات الرياضية. المتتالية الحسابية هي متتالية يزيد فيها كل حدّ عن السابق بمقدار ثابت يُسمَّى "الفرق المشترك" (d)، ويُحسَب حدّها العام بالمعادلة aₙ = a₁ + (n−1)d، بينما يُحسَب مجموع أول n حدّ منها بالمعادلة Sₙ = (n/2)(2a₁ + (n−1)d). المتتالية الهندسية هي متتالية يُضرَب فيها كل حدّ بنسبة ثابتة تُسمَّى "النسبة المشتركة" (r) للحصول على الحدّ التالي، ويُحسَب حدّها العام بالمعادلة aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹، بينما يُحسَب مجموع أول n حدّ منها بالمعادلة Sₙ = a₁(1−rⁿ)/(1−r). تُستخدَم هذه المتتاليات في حساب الفائدة البنكية المركّبة، والنمو السكاني، والفيزياء، وكثير من التطبيقات المالية والعلمية. وتُستخدَم المتتاليات والمتسلسلات على نطاق واسع في النمذجة المالية لحساب الفوائد المركّبة، وفي علوم الحاسوب لتحليل تعقيد الخوارزميات التي تتكرر بأنماط رياضية محددة. وتُعرَف المتتالية بأنها قائمة مرتبة من الأعداد تتبع نمطًا محددًا، بينما المتسلسلة هي مجموع حدود متتالية معينة، وتوجد أنواع أساسية كالمتتالية الحسابية (بفرق ثابت بين الحدود) والمتتالية الهندسية (بنسبة ثابتة بين الحدود المتتالية).
المتتالية هي قائمة مرتّبة من الأعداد تتبع نمطًا أو قاعدة محددة، بينما المتسلسلة هي جمع كل حدود المتتالية معًا. أشهر نوعين من المتتاليات هما المتتالية الحسابية، التي يزيد أو ينخفض فيها كل حد عن السابق بمقدار ثابت (فرق ثابت)، والمتتالية الهندسية، التي يُضرب فيها كل حد بنسبة ثابتة للحصول على الحد التالي.
تُحسب متسلسلة حسابية منتهية بجمع الحد الأول والحد الأخير، وضرب النتيجة في نصف عدد الحدود — وهي طريقة يُروى أن الرياضي الألماني كارل غاوس اكتشفها بشكل مستقل في طفولته عندما طُلب منه جمع الأعداد من 1 إلى 100، فحلّها في ثوانٍ بدل جمعها واحدًا تلو الآخر. أما المتسلسلة الهندسية، فتُحسب بصيغة مختلفة تعتمد على النسبة المشتركة بين الحدود.
من الحالات الخاصة والمثيرة للاهتمام في المتسلسلات الهندسية أن المتسلسلة اللانهائية (التي لا تتوقف عند حد معين) يمكن أن تؤول إلى قيمة محددة ومنتهية، بشرط أن تكون النسبة المشتركة بين الحدود أصغر من 1 في قيمتها المطلقة. هذه الخاصية غير البديهية — أن جمع عدد لا نهائي من الأعداد يمكن أن ينتج قيمة منتهية — هي ما تحل مفارقات فلسفية قديمة مثل مفارقة زينون المعروفة عن السباق بين أخيل والسلحفاة.
تُستخدم المتتاليات والمتسلسلات في نمذجة النمو المركّب في التمويل (حيث تنمو قيمة الاستثمار وفق متتالية هندسية)، وفي الحوسبة لتحليل كفاءة الخوارزميات المتكررة، وفي الفيزياء لوصف ظواهر التحلل المتتالي أو الاهتزازات المتكررة. كما أن متسلسلة فيبوناتشي الشهيرة، التي يُشتق كل حد فيها من جمع الحدين السابقين، تظهر بشكل مفاجئ في أنماط نمو طبيعية عديدة كترتيب أوراق النباتات وتفرّع الأشجار.
من النقاط العملية المفيدة أيضًا أن التمييز بين 'المتتالية المتقاربة' (التي تقترب حدودها من قيمة محددة كلما تقدمنا فيها) و'المتتالية المتباعدة' (التي تستمر في النمو أو التذبذب دون الاستقرار عند قيمة معينة) أساسي في تحديد ما إذا كان يمكن لمتسلسلة لانهائية مرتبطة بها أن تؤول أصلًا إلى قيمة منتهية، أم أنها ستستمر في التزايد إلى ما لا نهاية دون أي قيمة نهائية محددة لها.
في المتتالية الحسابية، تختلف الحدود المتتالية بمقدار ثابت يُضاف كل مرة، بينما في المتتالية الهندسية، تُضرَب الحدود المتتالية بنسبة ثابتة.
هو الإجمالي الذي تحصل عليه بجمع كل حدّ في المتتالية من الحدّ الأول حتى الحدّ النوني.
نعم، النسبة السالبة تجعل المتتالية تتبادل الإشارة، والنسبة الكسرية (كـ0.5) تجعل الحدود تتقلّص نحو الصفر.