احسب مضروب (!n) أي عدد صحيح غير سالب بدقة كاملة للأعداد الضخمة.
📂 نظريات الأعدادعبّئ الحقول الموجودة على يمين الصفحة بالقيم المطلوبة، ثم اضغط الزر لرؤية النتيجة فورًا. لا حاجة للتسجيل، ولا تُرسَل أي بيانات لأي خادم — كل الحساب يتم داخل متصفحك مباشرة.
تحسب حاسبة المضروب (!n) حاصل ضرب كل الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 إلى n، عملية أساسية في التوافيق والتباديل واحتمالات الأحداث. فمثلًا، 5! = 5×4×3×2×1 = 120. يُعرَّف مضروب الصفر (!0) خصيصًا بأنه يساوي 1، وهي قاعدة رياضية تجعل معادلات التوافيق والتباديل تعمل بشكل صحيح بلا حالات استثنائية. تنمو المضروبات بسرعة هائلة (!10 يساوي فقط 3,628,800، لكن !20 يتجاوز 2.4 كوينتليون)، وهذا سبب استخدام هذه الحاسبة نوع بيانات BigInt في JavaScript للحفاظ على دقة كاملة بلا تقريب حتى للأعداد الضخمة جدًا. تُستخدَم المضروبات كثيرًا في حساب عدد الطرق الممكنة لترتيب مجموعة عناصر، وفي معادلات التوافيق (nCr) والتباديل (nPr). ويُستخدَم المضروب على نطاق واسع في حساب عدد الطرق الممكنة لترتيب مجموعة من العناصر، وهو أساس حسابات التوافيق والتباديل المستخدمة في الاحتمالات والإحصاء التطبيقي. ويُرمَز للمضروب بعلامة التعجب (!)، ويعني ضرب كل الأعداد الصحيحة الموجبة من واحد وحتى العدد نفسه معًا، فمثلًا 5! يساوي 5×4×3×2×1، وينمو المضروب بسرعة كبيرة جدًا مع زيادة العدد، حتى إن مضروب أعداد صغيرة نسبيًا يصل لأرقام ضخمة جدًا.
مضروب عدد صحيح موجب (يُرمز له بعلامة !) يعني ضرب كل الأعداد الصحيحة من 1 حتى ذلك العدد معًا. فمضروب 5، مثلًا، يساوي 1×2×3×4×5 = 120. يُعرَّف مضروب الصفر تقليديًا بأنه يساوي 1، وهو تعريف رياضي مفيد يجعل صيغ التوافيق والتباديل تعمل بشكل صحيح ومتّسق دون استثناءات خاصة.
الاستخدام الأكثر شهرة للمضروب هو حساب عدد الطرق الممكنة لترتيب مجموعة من العناصر المختلفة. فإذا كان لديك 5 كتب مختلفة ترغب في ترتيبها على رف، فعدد الترتيبات الممكنة يساوي 5! = 120 طريقة مختلفة، لأن أول كتاب يمكن اختياره من 5 خيارات، والثاني من 4 خيارات متبقية، وهكذا حتى ينتهي الرف.
ينمو المضروب بسرعة هائلة مع زيادة العدد — فمضروب 10 يتجاوز 3.6 مليون، ومضروب 20 يتجاوز 2 كوينتليون (2 وأمامه 18 صفرًا). هذا النمو المتسارع يجعل المضروب أساسًا لفهم 'الانفجار التوافقي' في علوم الحاسوب، وهو السبب في أن بعض المشكلات الحسابية تصبح غير قابلة للحل عمليًا رياضيًا حتى بأقوى الحواسيب عندما يكبر حجم المدخلات بشكل بسيط.
يظهر المضروب أيضًا في صيغ التوافيق والتباديل (لحساب احتمالات الأحداث المعقّدة)، وفي متسلسلة تايلور المستخدمة لتقريب الدوال الرياضية المعقّدة كدالة الأس الطبيعي e^x وبعض الدوال المثلثية. وبفضل هذه الأهمية الرياضية الواسعة، يُعد المضروب من أوائل المفاهيم التي يتعلمها الطلاب في مقدمة الاحتمالات والتوافيق.
من النقاط العملية المفيدة أيضًا استخدام 'صيغة ستيرلينغ' التقريبية لتقدير قيمة المضروب للأعداد الكبيرة جدًا دون الحاجة لضرب كل الأعداد يدويًا، وهي أداة أساسية في الفيزياء الإحصائية وعلم الحاسوب عند التعامل مع أعداد ضخمة يستحيل حسابها بدقة كاملة عمليًا. هذا التقريب يوضح أن حتى المفاهيم الرياضية الدقيقة تحتاج أحيانًا لأدوات تقريبية عملية عند تطبيقها على نطاق واسع جدًا من القيم. ويُعرَّف مضروب الصفر (0!) اصطلاحًا بأنه يساوي واحدًا، رغم أنه استثناء منطقي يبدو غريبًا لأول مرة، وهذا التعريف ضروري لصحة صيغ التوافيق والتباديل التي تعتمد على المضروب في حالات خاصة. وتنمو قيمة المضروب بسرعة أكبر من أي دالة أسية عادية، وهذا ما يُعرَف رياضيًا بالنمو الفائق الأسي المميّز لهذه الدالة الخاصة.
هذه قاعدة رياضية تجعل صيغ التوافيقيات (كالتباديل والتوافيق) تعمل بشكل صحيح بلا استثناءات خاصة للصفر.
تنمو المضروبات بسرعة هائلة — فـ!1000 يحتوي أكثر من 2500 رقم — فهذا الحدّ يحافظ على قابلية قراءة النتيجة وسرعة الحساب في المتصفح.
تستخدم نوع بيانات BigInt في JavaScript، الذي ينفّذ حسابًا صحيحًا دقيقًا بلا تقريب، بخلاف الأعداد العشرية العادية.