احسب احتمال الحصول على k نجاحًا بالضبط (أو k فأقل) في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح ثابت.
📂 الإحصاء والاحتمالاتعبّئ الحقول الموجودة على يمين الصفحة بالقيم المطلوبة، ثم اضغط الزر لرؤية النتيجة فورًا. لا حاجة للتسجيل، ولا تُرسَل أي بيانات لأي خادم — كل الحساب يتم داخل متصفحك مباشرة.
يصف التوزيع ذو الحدين احتمال الحصول على عدد معين من "النجاحات" ضمن عدد ثابت من المحاولات المستقلة، بشرط أن تكون كل محاولة ذات نتيجتين ممكنتين فقط بنفس احتمال النجاح p في كل مرة — كرمي عملة عدة مرات، أو عدد المنتجات المعيبة في دفعة تصنيع. تحسب هذه الحاسبة احتمال الحصول على k نجاحًا بالضبط من n محاولة، بالإضافة للاحتمال التراكمي للحصول على k نجاحًا أو أقل، والقيمة المتوقعة للتوزيع، التي تساوي دائمًا حاصل ضرب n في p. يُستخدَم هذا التوزيع كثيرًا في ضبط الجودة والتجارب الطبية وتحليل نتائج الاستطلاعات والانتخابات. ويُستخدَم التوزيع ذو الحدين على نطاق واسع في ضبط الجودة الصناعية، وتحليل نتائج الاستطلاعات، وأي سيناريو يتكرر فيه حدث ذو نتيجتين محتملتين فقط (نجاح أو فشل) بعدد ثابت من المحاولات المستقلة. وتعتمد الصيغة على ثلاثة مدخلات أساسية: عدد المحاولات الكلي، احتمال النجاح في كل محاولة منفردة، وعدد النجاحات المطلوب حساب احتماله بالضبط، مع افتراض أساسي أن كل محاولة مستقلة تمامًا عن المحاولات الأخرى ولا تتأثر بنتائجها السابقة.
يصف التوزيع الثنائي (Binomial Distribution) احتمال الحصول على عدد معيّن من 'النجاحات' عند تكرار تجربة ذات نتيجتين فقط — نجاح أو فشل — عددًا ثابتًا من المرات، بشرط أن يكون احتمال النجاح نفسه في كل مرة وأن تكون المحاولات مستقلة عن بعضها. أشهر مثال توضيحي هو رمي عملة نقدية عدة مرات وحساب احتمال ظهور 'صورة' عددًا معينًا من المرات.
صاغ الرياضي السويسري جاكوب برنولي أساس هذا التوزيع في القرن السابع عشر ضمن دراسته للاحتمالات، ولهذا يُطلق أحيانًا على التجربة الواحدة اسم 'تجربة برنولي'. تعتمد الصيغة على معامل ثنائي الحدين (لحساب عدد الطرق الممكنة لترتيب النجاحات)، مضروبًا في احتمال النجاح مرفوعًا لعدد مرات النجاح، وفي احتمال الفشل مرفوعًا لعدد مرات الفشل.
يُستخدم هذا التوزيع في مجالات متعددة تتجاوز الأمثلة الكلاسيكية مثل رمي العملة أو النرد: في مراقبة الجودة الصناعية لتقدير احتمال وجود عدد معيّن من القطع المعيبة في عيّنة، وفي الأبحاث الطبية لحساب احتمال استجابة عدد معيّن من المرضى لعلاج معيّن، وفي التسويق لتقدير احتمال تحويل عدد معيّن من الزوار إلى عملاء فعليين.
من المهم التمييز بين التوزيع الثنائي وتوزيعات الاحتمال الأخرى مثل توزيع بواسون، الذي يُستخدم عندما يكون عدد المحاولات كبيرًا جدًا واحتمال النجاح صغيرًا جدًا. كما أن التوزيع الثنائي يفترض ثبات احتمال النجاح عبر كل المحاولات؛ فإذا كان الاحتمال يتغير (كما في السحب دون إرجاع من مجموعة محدودة)، يصبح التوزيع فرط الهندسي (Hypergeometric) هو الأنسب رياضيًا بدلًا منه.
من الجوانب العملية المهمة عند استخدام هذا التوزيع التحقق أولًا من توافر شروطه الثلاثة: عدد ثابت من المحاولات، احتمال نجاح ثابت لا يتغيّر بين محاولة وأخرى، واستقلالية كل محاولة عن الأخرى. إذا لم يتحقق أحد هذه الشروط — كأن يتغيّر احتمال النجاح تدريجيًا أو ترتبط المحاولات ببعضها — فإن نتائج التوزيع الثنائي تصبح غير دقيقة، ويحتاج الأمر إلى نموذج احتمالي مختلف يناسب طبيعة البيانات الفعلية. ويُشترَط لتطبيق هذا التوزيع أن يكون عدد المحاولات ثابتًا ومعروفًا مسبقًا، وأن يبقى احتمال النجاح ثابتًا في كل محاولة دون أي تغيّر، وهو ما يميّزه عن توزيعات أخرى تسمح باحتمالات متغيرة بين المحاولات.
يجب وجود عدد ثابت من المحاولات المستقلة، كل واحدة ذات نتيجتين ممكنتين فقط، وبنفس احتمال النجاح p في كل محاولة.
P(X = k) هو احتمال الحصول على k نجاحًا بالضبط، بينما P(X ≤ k) هو الاحتمال التراكمي للحصول على k نجاحًا أو أقل.
هي متوسط عدد النجاحات الذي تتوقعه لو كررت التجربة الكاملة من n محاولة مرات عديدة.