احسب عدد التباديل (nPr) والتوافيق (nCr) لأي n وr.
📂 الإحصاء والاحتمالاتعبّئ الحقول الموجودة على يمين الصفحة بالقيم المطلوبة، ثم اضغط الزر لرؤية النتيجة فورًا. لا حاجة للتسجيل، ولا تُرسَل أي بيانات لأي خادم — كل الحساب يتم داخل متصفحك مباشرة.
تحسب التباديل والتوافيق عدد الطرق الممكنة لاختيار أو ترتيب r عناصر من مجموعة تحتوي n عنصرًا، والفرق الجوهري بينهما هو أهمية الترتيب. التباديل (يُرمَز لها nPr) تعدّ عدد الطرق عندما يهم الترتيب، بينما التوافيق (يُرمَز لها nCr) تعدّ عدد الطرق عندما لا يهم الترتيب. تُحسَب nPr بضرب n في (n−1) في (n−2)... حتى r عوامل، وتُحسَب nCr بقسمة nPr على مضروب r (!r). تستخدم هذه الحاسبة حسابًا دقيقًا للأعداد الضخمة (BigInt) لضمان الدقة الكاملة حتى مع قيم n كبيرة نسبيًا، مما يجعلها أداة أساسية في الاحتمالات والتوافيقيات وتحليل الخوارزميات. ويُستخدَم الفرق بين التباديل والتوافيق على نطاق واسع في مسائل الاحتمالات، حيث يهم ترتيب العناصر في حالة التباديل (كترتيب المتسابقين) بينما لا يهم الترتيب في حالة التوافيق (كاختيار فريق من مجموعة أكبر). وتُحسَب التوافيق والتباديل باستخدام صيغ تعتمد على المضروب، حيث تُقسَّم n! (مضروب العدد الكلي للعناصر) على مضروب الفرق بين العدد الكلي والعدد المختار في حالة التباديل، مع قسمة إضافية على مضروب العدد المختار نفسه في حالة التوافيق فقط.
يهدف كل من التباديل والتوافيق إلى حساب عدد الطرق الممكنة لاختيار مجموعة فرعية من عناصر معينة، لكن الفرق الجوهري بينهما هو: التباديل تحسب الترتيبات التي يهم فيها ترتيب العناصر، أما التوافيق فتحسب الاختيارات التي لا يهم فيها الترتيب على الإطلاق. هذا الفرق الوحيد يغيّر النتيجة النهائية بشكل كبير جدًا عند التطبيق العملي.
مثال توضيحي: لو كان لديك ثلاثة أشخاص وتريد اختيار اثنين منهم لمنصبَي رئيس ونائب رئيس (وهما منصبان مختلفان)، فهذه مسألة تباديل لأن ترتيب الاختيار يهم (من هو الرئيس ومن هو النائب). لكن لو أردت فقط اختيار اثنين من الثلاثة لتشكيل لجنة دون تمييز بينهما، فهذه مسألة توافيق لأن الترتيب لا يغيّر النتيجة.
تعتمد صيغتا التباديل والتوافيق كلاهما على المضروب: التباديل تُحسب بقسمة مضروب العدد الكلي على مضروب الفرق بين العدد الكلي والعدد المختار، بينما التوافيق تُحسب بنفس الصيغة مقسومة إضافيًا على مضروب العدد المختار، لأن هذه القسمة الإضافية تُلغي كل الترتيبات المكررة التي تُعد مختلفة في التباديل ولكنها متطابقة فعليًا في التوافيق.
يُستخدم هذان المفهومان على نطاق واسع في حساب الاحتمالات (كاحتمال الفوز في اليانصيب، الذي يعتمد على عدد التوافيق الممكنة)، وفي علم التشفير وأمان كلمات المرور (لتقدير عدد المحاولات اللازمة لتخمين كلمة سر معينة)، وفي علم الأحياء الحاسوبي لحساب عدد الترتيبات الممكنة لتسلسلات جينية معينة عند دراسة الطفرات والتنوع الجيني.
من النقاط العملية المفيدة أيضًا أن الجمع بين مبدأي التباديل والتوافيق ضروري في مسائل أكثر تعقيدًا، كحساب احتمال الفوز في لعبة يانصيب تتطلب اختيار عدة أعداد من مجموعة أكبر دون ترتيب معيّن (توافيق)، ثم دراسة كل التركيبات الممكنة للجائزة (تباديل في حالات أخرى). التمييز الدقيق بين الحالتين في بداية أي مسألة هو الخطوة الأهم لضمان الوصول لنتيجة صحيحة. ومن الأمثلة العملية الشائعة: حساب عدد كلمات السر الممكنة (تباديل، لأن الترتيب يهم) مقابل حساب عدد الطرق لاختيار لجنة من موظفين (توافيق، لأن ترتيب الأسماء داخل اللجنة لا يهم على الإطلاق). وتُستخدَم هذه المفاهيم أيضًا في حساب احتمالات ألعاب الورق، حيث يهم عدد الطرق الممكنة لتوزيع بطاقات معينة من مجموعة أكبر بلا ترتيب محدد.
التباديل تعدّ الترتيبات حيث يهم الترتيب، بينما التوافيق تعدّ الاختيارات حيث لا يهم الترتيب.
يساوي عدد التباديل !n (مضروب n)، ويساوي عدد التوافيق 1 تمامًا.
لا، لا يمكنك اختيار عناصر أكثر من المتوفرة، فستظهر الحاسبة تنبيهًا في هذه الحالة.