احسب الكثافة الاحتمالية والاحتمال التراكمي P(X ≤ x) لتوزيع طبيعي بمتوسط وانحراف معياري معينين.
📂 الإحصاء والاحتمالاتعبّئ الحقول الموجودة على يمين الصفحة بالقيم المطلوبة، ثم اضغط الزر لرؤية النتيجة فورًا. لا حاجة للتسجيل، ولا تُرسَل أي بيانات لأي خادم — كل الحساب يتم داخل متصفحك مباشرة.
التوزيع الطبيعي هو أشهر وأكثر التوزيعات الإحصائية استخدامًا، ويتميّز بشكله الجرسي المتماثل حول المتوسط، حيث تتجمّع معظم القيم حول المتوسط وتقلّ كثافتها تدريجيًا كلما بعدت عنه. تُستخدَم دالة الكثافة الاحتمالية (PDF) لحساب "ارتفاع" منحنى التوزيع عند قيمة x معينة، بينما تُستخدَم دالة التوزيع التراكمية (CDF) لحساب احتمال أن تكون قيمة أقل من أو تساوي x — وهي الأكثر استخدامًا عمليًا من الاثنتين. تعتمد هذه الحاسبة على معادلتين قياسيتين للدالتين الكثافية والتراكمية، باستخدام تقريب رياضي قياسي لدالة الخطأ لحساب CDF بدقة عالية بلا حاجة لجداول التوزيع الطبيعي التقليدية. يُستخدَم التوزيع الطبيعي في مجالات لا حصر لها: درجات الاختبارات، أطوال وأوزان البشر، أخطاء القياس، والتحليل المالي. ويُستخدَم التوزيع الطبيعي على نطاق واسع في العلوم الطبيعية والاجتماعية لوصف ظواهر كثيرة كالطول والوزن ودرجات الاختبارات، التي تتجمّع أغلب قيمها حول متوسط واحد بتماثل تدريجي واضح. ويتميّز التوزيع الطبيعي بشكله الجرسي المتماثل حول متوسط واحد، حيث يقع نحو 68% من القيم ضمن انحراف معياري واحد من المتوسط، ونحو 95% ضمن انحرافين معياريين، ونحو 99.7% ضمن ثلاثة انحرافات، وفق ما يُعرَف بالقاعدة التجريبية الشهيرة.
التوزيع الطبيعي (المعروف أيضًا بمنحنى الجرس) هو أحد أهم التوزيعات الاحتمالية في الإحصاء، ويصف ظواهر طبيعية كثيرة تتجمّع قيمها حول متوسط معيّن مع تناقص تدريجي متماثل كلما بعدت القيمة عن هذا المتوسط في أي اتجاه — كطول الأشخاص البالغين، أو درجات اختبار موحّد على عيّنة كبيرة من الطلاب.
يُحدَّد شكل التوزيع الطبيعي بالكامل بمعلمتين فقط: المتوسط (الذي يحدد موضع مركز المنحنى) والانحراف المعياري (الذي يحدد مدى 'اتساع' أو 'تفلطح' المنحنى حول ذلك المركز). كلما صغر الانحراف المعياري، ازداد تجمّع القيم حول المتوسط وأصبح المنحنى أكثر ضيقًا وارتفاعًا؛ وكلما كبر، ازداد تشتت القيم واتسع المنحنى وانخفض.
تنص 'القاعدة التجريبية' الشهيرة على أن حوالي 68% من القيم في توزيع طبيعي تقع ضمن انحراف معياري واحد من المتوسط، وحوالي 95% تقع ضمن انحرافين معياريين، وحوالي 99.7% تقع ضمن ثلاثة انحرافات معيارية. هذه النسب الثابتة تجعل التوزيع الطبيعي أداة قوية للتنبؤ بمدى شيوع أو ندرة قيمة معينة ضمن مجموعة بيانات كبيرة.
يستمد التوزيع الطبيعي أهميته الكبرى أيضًا من 'نظرية النهاية المركزية'، التي تنص على أن متوسط عيّنات متعددة مأخوذة من أي توزيع (بصرف النظر عن شكله الأصلي) يقترب من التوزيع الطبيعي مع زيادة حجم العيّنات وعددها. هذا ما يجعل التوزيع الطبيعي أساسًا لكثير من الاختبارات الإحصائية المستخدمة في الأبحاث العلمية والطبية والاجتماعية.
من النقاط العملية المفيدة أيضًا أن التوزيع الطبيعي 'القياسي' (بمتوسط صفر وانحراف معياري واحد) يُستخدم كمرجع موحّد لكل التوزيعات الطبيعية الأخرى، عبر عملية 'التقييس' التي تحوّل أي قيمة إلى درجة Z مقابلة. هذا التحويل يسمح باستخدام جدول احتمالي واحد فقط لحساب النسب المئوية لأي توزيع طبيعي، بصرف النظر عن متوسطه أو انحرافه المعياري الأصليين، وهو ما يبسّط الحسابات الإحصائية العملية بشكل كبير. ويُستخدَم مفهوم التوزيع الطبيعي القياسي (بمتوسط صفر وانحراف معياري واحد) كأداة موحّدة لمقارنة قيم من توزيعات طبيعية مختلفة تمامًا، بعد تحويل كل قيمة لدرجة Z تعكس موقعها النسبي من متوسط توزيعها الأصلي.
PDF (الكثافة الاحتمالية) تُظهر ارتفاع المنحنى عند تلك النقطة، بينما CDF (الاحتمال التراكمي) تُظهر الاحتمال الفعلي أن تكون قيمة أقل من أو تساوي X.
بسبب نظرية النهاية المركزية، تميل مجاميع أو متوسطات عوامل عشوائية مستقلة عديدة لتقريب توزيع طبيعي، وهذا سبب ظهوره كثيرًا في الطبيعة والإحصاء.
درجة Z الكبيرة (موجبة أو سالبة) تعني أن X بعيدة عن المتوسط، وتضعها في الأطراف الرقيقة للتوزيع — قيمة نادرة نسبيًا.